SOLUCIÓN Ejercicio nº 1

El ejercicio se reduce a trazar el segmento media proporcional de 150 y 250 (400-150)
(Puedes pinchar en las imágenes para verlas más grandes!)

Recordemos qué es la media proporcional...
Si tengo un segmento A, que es proporcional a un segmento x...
Y a su vez este segmento x es proporcional a otro segmento B...
Entonces podemos decir que x es media proporcional de A y de B
De manera matemática... A/x = x/B  

Para resolver este ejercicio utilizaremos el teorema de la altura de Pitágoras, que nos dice que la altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que la divide.

Por tanto, vamos a construir un triángulo rectángulo cuya altura es la que estamos buscando. La hipotenusa es la suma de los dos segmentos... Situamos los dos segmentos de forma continua y trazamos los posibles lugares geométricos en los que se forman un vértice recto (media circunferencia desde el punto medio).

De este modo cualquier triangulo cuyo vértice esté situado en la semicircunferencia será rectángulo.

Lo que estamos buscando es la altura de este triángulo rectángulo, como debe ser media proporcional de los dos segmentos, esta altura debe estar situada entre ambos. Se traza una perpendicular por la unión de los dos segmentos: el corte a la semicircunferencia nos da el segmento media proporcional de los otros dos. 

(En el anterior esquema puedes ver el triangulo rectángulo completo, aunque no es necesario para la resolución del ejercicio, puedes comprobar el teorema de la altura de Pitágoras)

Para pensar...

La altura h es a su vez media proporcional de infinitos segmentos... 

¿Podrías determinar un par de estos? ¿Cómo lo harías?

 Puedes comprobar que para una misma altura h, (media proporcional de los dos segmentos que divide) existen infinitos pares de segmentos manteniendo el ángulo recto.